ΚΕΦΑΛΑΙΟ 69: ΟΓΚΟΣ-ΧΩΡΗΤΙΚΟΤΗΤΑ

 

Ο όγκος, που ονομάζεται επίσης και χωρητικότητα, είναι μια ένδειξη ποσότητας που δείχνει πόσο χώρο καταλαμβάνει ένα αντικείμενο.

Μονάδα μέτρησης όγκου και οι υποδιαιρέσεις:

1 κ.μ. = 1.000 κ.δεκ. = 1.000.000 κ.εκ. = 1.000.000.000 κ.χιλ.

1 κ.δεκ. = 1.000 κ.εκ. = 1.000.000 κ.χιλ.

1 κ.εκ. = 1.000 κ.χιλ.

Επίσης ως μονάδα μέτρησης χρησιμοποιούμε το 1 λίτρο το οποίο είναι ίσο με το 1 κ.δεκ.:

1 λίτρο = 1.000 χιλιοστόλιτρα

1.κ.μ. = 1.000 λίτρα = 1.000 τόνοι1 κ.δεκ. = 1 λίτρο = 1 κιλό

1 κ.εκ. = 1 χιλιοστόλιτρο = 1 γραμμάριο

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 68: ΚΥΛΙΝΔΡΟΣ

0 κύλινδρος είναι ένα γεωμετρικό στερεό με μια καμπύλη επιφάνεια και δύο παράλληλες βάσεις σε σχήμα κυκλικού δίσκου.

Ας θεωρήσουμε το ανάπτυγμα ενός κυλίνδρου. Είναι φανερό ότι το εμβαδόν της παράπλευρης επιφάνειας του κυλίνδρου ισούται με το εμβαδόν του ορθογωνίου που σχηματίζεται, οπότε ισούται με το γινόμενο της περιμέτρου της βάσης επί το ύψος του κυλίνδρου.

Η περίμετρος της βάσης ισούται με το μήκος του κύκλου.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 66: ΚΥΒΟΣ ΚΑΙ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΠΙΠΕΔΟ: ΕΔΡΕΣ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΓΜΑΤΑ

 βλ. παρουσίαση εδώ

για παράδειγμα ένα κυβικό κουτί με διαστάσεις

1cm x 1cm x 1cm
Ανοίγουμε το κυβικό κουτί εντελώς, όπως φαίνεται πιο κάτω, ώστε να γίνει ολόκληρο μια επίπεδη επιφάνεια.



Αυτή η επίπεδη επιφάνεια λέγεται ανάπτυγμα της επιφάνειας του κύβου και είναι ίση με την εξωτερική επιφάνεια του κύβου.

Ποια είναι αναπτύγματα κύβου;
ΚΛΙΚ

Για να βρούμε το εμβαδόν της παράπλευρης επιφάνειας του κύβου :

Επαρ. = 4 . (α . α)


Για να βρούμε το εμβαδόν όλου του κύβου :

Εολ. = 6 . (α . α)

Ανάπτυγμα ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου


Το εμβαδόν της παράπλευρης επιφάνειας ενός ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου ισούται με το γινόμενο της περιμέτρου της βάσης του επί το ύψος του ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου.

Επαρ. = (περίμετρος βάσης) . (ύψος)


Για να βρούμε το εμβαδό όλου του ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου:

Εολ. = εμβαδόν περιμέτρου βάσης + Ε δύο βάσεων


Εολ. = εμβαδόν περιμέτρου βάσης + Ε δύο βάσεων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 65: ΒΡΙΣΚΩ ΤΟ ΕΜΒΑΔΟ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΔΙΣΚΟΥ

 

Ο κύκλος είναι μια κλειστή καμπύλη, που κάθε σημείο της απέχει εξίσου από ένα σημείο. Το σημείο αυτό λέγεται κέντρο του κύκλου.

Ακτίνα του κύκλου λέγεται το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει το κέντρο με ένα σημείο του κύκλου.

Διάμετρος του κύκλου λέγεται το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει δύο σημεία του κύκλου και περνά από το κέντρο. Η διάμετρος κόβει τον κύκλο σε δύο ημικύκλια που είναι ίσα το ένα με το άλλο.

Ένας κύκλος έχει άπειρες ακτίνες και άπειρες διαμέτρους.

Στον ίδιο κύκλο όλες οι ακτίνες είναι ίσες μεταξύ τους.

Επίσης και όλες οι διάμετροι είναι ίσες μεταξύ τους.

Σε κάθε κύκλο η ακτίνα, την οποία συνήθως ονομάζουμε (α), είναι το μισό της διαμέτρου, ενώ η διάμετρος (δ) είναι διπλάσια της ακτίνας.

Άρα α = δ : 2 και δ = 2 ● α

Σε κάθε κύκλο το μέγεθος του μήκους του είναι ανάλογο με το μέγεθος της ακτίνας του ή το μέγεθος της διαμέτρου του.

Σε κάθε κύκλο το μήκος του είναι 3,14 φορές μεγαλύτερο από τη διάμετρό του, ενώ αντστρόφως η διάμετρός του είναι 3,14 φορές μικρότερη από το μήκος του.

Άρα     μήκος κύκλου = 3,14 ● δ  

και    δ = μήκος κύκλου ● 3,14

Τον αριθμό 3,14 τον ονομάζουμε πάντα αριθμό π

Κυκλικός δίσκος λέγεται ο κύκλος μαζί με την επιφάνεια που κλείνει μέσα του.

Για να βρω το εμβαδόν του κυκλικού δίσκου εφαρμόζω τον τύπο

Ε κυκλικού δίσκου = π ●  α²

ή αλλιώς Ε κυκλ. δίσκου = π ● (α ● α)

Μπορούμε αντί να  υπολογίσουμε το εμβαδόν του κυκλικού δίσκου, να τον χωρίσουμε σε κομμάτια, που θα τα τοποθετήσουμε κατάλληλα ώστε να σχηματισθεί ένα ορθογώνιο του οποίου το εμβαδόν θα είναι ίσο με το εμβαδόν του κυκλικού δίσκου, αφού θα αποτελούνται από τα ίδια κομμάτια: 

 

βλ. εδώ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 64: ΒΡΙΣΚΩ ΤΟ ΕΜΒΑΔΟ ΤΡΑΠΕΖΙΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 63: ΒΡΙΣΚΩ ΤΟ ΕΜΒΑΔΟ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

 

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 62: ΒΡΙΣΚΩ ΤΟ ΕΜΒΑΔΟ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΟΥ

 

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 61: ΜΕΤΡΩ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ

 Μονάδα μέτρησης της επιφάνειας είναι το τετραγωνικό μέτρο, η επιφάνεια δηλαδή ενός τετραγώνου με πλευρά 1 μέτρο.

Υποδιαιρέσεις του τετραγωνικού μέτρου ( τ. μ.) δηλαδή μικρότερα είναι:

• το τετραγωνικό δεκατόμετρο ή τετραγωνική παλάμη ή τετραγωνικό δέκατο (τ.δ.)
• το τετραγωνικό εκατοστόμετρο ή τετραγωνικό εκατοστό (τ.εκ.)
• και το τετραγωνικό χιλιοστόμετρο ή τετραγωνικό χιλιοστό (τ.χ.)

Μεγαλύτερη μονάδα μέτρησης του τετραγωνικού μέτρου είναι το στρέμμα και το τετραγωνικό χιλιόμετρο (τ.χμ).

Το στρέμμα (στρ) = 1.000 τ. μ.

Το τετραγωνικό χιλιόμετρο (τ.χμ.) = 1.000.000 τ. μ.

βλ http://inschool.gr/6math06.html

 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 60: ΑΞΟΝΙΚΗ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ

βλ.σε διαφάνειες ΕΔΩ

Όταν ένα σχήμα μπορεί να χωριστεί με μια ευθεία γραμμή σε δυο μέρη, έτσι ώστε το ένα μέρος να είναι αντανάκλαση του άλλου, τότε το σχήμα αυτό είναι συμμετρικό ως την ευθεία αυτή γραμμή.

Η ευθεία γραμμή που χωρίζει το σχήμα αυτό σε δύο ίσα τμήματα ονομάζεται άξονας συμμετρίας.

Ένα σχήμα μπορεί να έχει έναν ή και περισσότερους άξονες συμμετρίας.

Κάποια συμμετρικά σχήματα έχουν άξονα συμμετρίας που τα τέμνει, όπως τα παραπάνω, ενώ άλλα είναι συμμετρικά ως προς άξονα συμμετρίας που βρίσκεται έξω από αυτά, όπως τα από κάτω.

Δύο σχήματα που είναι συμμετρικά ως προς άξονα είναι ίσα, άρα έχουν ίσες περιμέτρους και ίσα εμβαδά.

ΤΟ ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΓΩΝΙΩΝ ΕΝΟΣ ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΟΥ

 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 58: ΣΧΕΔΙΑΖΩ ΓΩΝΙΕΣ

ΤΟ ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΓΩΝΙΩΝ ΕΝΟΣ ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΟΥ

Κάνε κλικ στην εικόνα για να τη δεις σε μεγέθυνση

ΤΟ ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΓΩΝΙΩΝ ΕΝΟΣ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

Κάνε κλικ στην εικόνα για να τη δεις σε μεγέθυνση

Σχεδιάζω γωνίες

ΚΛΙΚ ΕΔΩ μέτρησε με το μοιρογνωμόνιο τη γωνία. Αν χρειαστεί περίστρεψέ το

 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 57: ΓΩΝΙΕΣ

Μπορούμε να σχεδιάσουμε γωνίες στο μέγεθος που εμείς θέλουμε χρησιμοποιώντας το χάρακα και το μοιρογνωμόνιο:

• Με το χάρακα χάραξε μια ημιευθεία Αχ
• Βάλε το μοιρογνωμόνιο έτσι ώστε το κέντρο του να είναι στο Α και η Αχ να περνάει από το 0 (μοίρες). Σημείωσε ένα σημείο όπου θέλεις π.χ. στο 70 (μοίρες)
• Με το χάρακα τώρα χάραξε την ημιευθεία ΑΒ. Η γωνία που σχηματίστηκε θα είναι 70 μοίρες

Το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου είναι 180 μοίρες

Το άθροισμα των γωνιών ενός τετραπλεύρου είναι 360 μοίρες

• Χαράζουμε τη διαγώνιο ΑΓ από την κορυφή Α
• Παρατηρούμε ότι σχηματίζονται δύο τρίγωνα
• Πολλαπλασιάζουμε τον αριθμό των τριγώνων
• επί 180 μοίρες (2 Χ 180  = 360)

ΕΝΟΤΗΤΑ 6: Γεωμετρία

 Σε αυτή την ενότητα θ­α ασχοληθούμε με τη Γεωμετρία.

 Η Γεωμετρία αναπτύχθηκε ως επιστήμη στην αρχαία Ελλάδα. Οι πρώτοι Έλληνες σοφοί που ασχολήθηκαν με τα Μαθηματικά ήταν ο Θαλής ο Μιλήσιος ( 640-546 π.Χ.) και ο Πυθαγόρας ο Σάμιος (580-490 π.Χ.). Ο Θαλής γνώριζε τη σφαιρικότητα της γης, προέβλεπε τις εκλείψεις και χώριζε το έτος σε 365 ημέρες. Ο Πυθαγόρας θεωρούσε σαν τελειότερο γεωμετρικό σχήμα τον κύκλο και τελειότερο στερεό τη σφαίρα. Αργότερα, άλλοι μεγάλοι Έλληνες μαθηματικοί όπως ο Πυθαγόρας, ο Ευκλείδης και ο Δημόκριτος μελέτησαν τα σχήματα με τις ιδιότητές τους και σταδιακά διαμόρφωσαν την επιστήμη της Γεωμετρίας με τη μορφή που τη γνωρίζουμε σήμερα.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 56: ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΧΗΜΑΤΑ-ΠΟΛΥΓΩΝΑ

ΠΑΙΞΕ ΜΕ ΤΙΣ ΔΙΑΔΡΑΣΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ στα παρακάτω λινκς

http://inschool.gr/G4/MATH/POLYGONA-ORISMOI-VAL-G4-MATH-MYmillion-1309242214-tzortzisk/index.html

http://inschool.gr/G4/MATH/GEOM-POLYGONA-onomasia-LEARN-G4-MATH-MYmatchA-1408172359-tzortzisk/index.html

http://inschool.gr/G4/MATH/GEOM-POLYGONA-onomasia-PRAC-G4-MATH-MYtriviaGROR-1408192111-tzortzisk/index.html

Κεφάλαιο 44: ΛΥΝΩ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΠΟΣΟΣΤΑ: ΒΡΙΣΚΩ TO ΠΟΣΟΣΤΟ ΣΤΑ ΕΚΑΤΟ

 

Πρόβλημα: Ο σχολικός συνεταιρισμός του σχολείου μας, που λειτούργησε χθες για πρώτη μέρα, προμηθεύτηκε 40 κουλούρια. Από αυτά πούλησε τα 37 ενώ τα υπόλοιπα, επειδή κόπηκαν τα πέταξαν. Πόσο στα % ήταν η φύρα (απώλεια);

Επειδή ψάχνουμε το ποσοστό (%) της φύρας, θα πρέπει να βρούμε πρώτα αυτήν και μετά να κάνουμε τον πίνακα 40 - 37 = 3 (η φύρα)Τα ποσά είναι πάντα ανάλογα, φτιάχνουμε την αναλογία ή όποιο τρόπο θέλουμε και λύνουμε το πρόβλημα

Σημ.: η τιμή του 100 είναι ΠΑΝΤΑ η Αρχική Τιμή

χ = 100 . 3 / 40
χ = 300 / 40
χ = 7,5%

• Άρα για να βρούμε το ποσοστό (%), πρέπει να γνωρίζουμε την αρχική τιμή και την αύξηση ή μείωσή της.
• Μπορούμε επίσης να βρούμε το ποσοστό αν γνωρίζουμε την αρχική τιμή και την τελική τιμή, αφού θα υπολογίσουμε πρώτα το ποσό αύξησης ή μείωσης της αρχικής τιμής και μετά το ποσοστό %

Κεφάλαιο 43: ΛΥΝΩ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΠΟΣΟΣΤΑ: ΒΡΙΣΚΩ ΤΗΝ ΑΡΧΙΚΗ ΤΙΜΗ ΤΙΜΗ

βλ. παρουσίαση σε διαφάνειες εδώ

 Όταν θέλω να βρω την αρχική τιμή, τοποθετώ τις γνωστές τιμές όπως όταν έλυνα προβλήματα με ποσά ανάλογα και μετά λύνω το πρόβλημα.

π.χ. Δόθηκαν κάποια ερωτηματολόγια σχετικά με το περιβάλλον στους μαθητές. Επέστρεψαν τα ερωτηματολόγια συμπληρωμένα 15 μαθητές που αντιστοιχούν στο 10 % του σχολείου. Πόσοι είναι οι μαθητές του σχολείου;

15 μαθητές 10 %
Χ ; 100 %

10 ● Χ = 100 ● 15 
10 ● Χ = 1.500
Χ = 1.500 : 10
Χ = 150 είναι οι μαθητές όλου του σχολείου.

Προσέχω όμως τα εξής:

Όταν θέλω να βρω την αρχική τιμή πριν από έκπτωση, τότε αφαιρούμε την έκπτωση από το ποσοστό της αρχικής τιμής (100 % - ) και μετά λύνω το πρόβλημα.

π.χ. Αγόρασα ένα cd player μετά από έκπτωση 20 %, 250 €. Πόσο κόστιζε το cd player πριν από την έκπτωση;

250 € (100 – 20) = 80
Χ ; 100 %

80 ● Χ = 250 ● 100 
80 ● Χ = 25.000
Χ = 25.000 : 80
Χ = 312,5 € κόστιζε το cd player πριν την έκπτωση


Όταν θέλω να βρω την αρχική τιμή πριν από κέρδος, τότε προσθέτουμε το κέρδος στο ποσοστό της αρχικής τιμής (100 % + ) και μετά λύνω το πρόβλημα.

π.χ. Ένα μπουφάν που το αγόρασα από ένα κατάστημα second hand το πούλησα έπειτα από μερικές μέρες 200 € με κέρδος 10 %. Πόσο αγόρασα το μπουφάν από το γιουσουρούμ;

200€ (100 + 10) = 110
Χ ; 100 %

110 ● Χ = 200 ● 100 
110 ● Χ = 20.000
Χ = 20.000 : 110

Χ = 181,8 €

Κεφάλαιο 42: ΛΥΝΩ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΠΟΣΟΣΤΑ: ΒΡΙΣΚΩ ΤΗΝ ΤΕΛΙΚΗ ΤΙΜΗ

 βλ. παρουσίαση σε διαφάνειες εδώ

Πρόβλημα:Ο κύριος Νίκος πληρώνει ενοίκιο 450 €. Ο ιδιοκτήτης όμως του ζητάει για τον επόμενο χρόνο αύξηση 5%. Πόσο ενοίκιο θα πληρώσει τον επόμενο χρόνο ο κύριος Νίκος;

Όπως θα παρατηρείς γνωρίζουμε δύο πράγματα.

1. Το ενοίκιο που πληρώνει ο κύριος Νίκος ως τώρα (Αρχική Τιμή) και
2. το ποσοστό αύξησης που ζητάει ο ιδιοκτήτης (5%)

και βέβαια ζητάμε το ποσό του ενοικίου για τον επόμενο χρόνο μαζί με την αύξηση (Τελική Τιμή)

Οπότε το πρώτο που πρέπει να βρούμε είναι η αύξηση που ζητάει ο ιδιοκτήτης. Ας το βρούμε:

450 . 0,05 = 22,5 €

Τώρα λοιπόν έχουμε δυο γνωστές τιμές:

Αρχική Τιμή (450 €) και αύξηση (22,5) οπότε μπορώ να υπολογίσω την Τελική Τιμή ενοικίου για τον επόμενο χρόνο αν:
Αρχική Τιμή + Αύξηση = Τελική Τιμή δηλαδή 450 + 22,5 = 472,5 € 

Άρα για να υπολογίσω την Τελική Τιμή αρκεί να κάνω δυο πράξεις. Έναν πολλαπλασιασμό (450 . 0,05) και μια πρόσθεση (450 + 22,5)

Μπορείς να υποθέσεις τι πράξεις θα κάνω αν αντί για αύξηση ο ιδιοκτήτης έκανε μείωση του ενοικίου;

Τα προβλήματα ποσοστών μπορούμε να τα λύνουμε και με τις μεθόδους που λύναμε για τα ανάλογα ποσά αφού στα ποσοστά τα ποσά είναι ΠΑΝΤΑ ανάλογα. 

Στο παραπάνω πρόβλημα δηλαδή, αφού θα θεωρούσαμε ότι το 100% είναι το Αρχικό ενοίκιο, θα σχηματίζαμε τον παρακάτω πίνακα



και θα το λύναμε : 
χ = 450 . 5 / 100,
χ = 2250 / 100,
χ = 22,5 € (η αύξηση) 

άρα

450 + 22,5 = 472,5 € η Τελική Τιμή ενοικίου για τον επόμενο χρόνο
ΠΡΟΣΕΞΕ Γνωρίζοντας ότι ψάχνουμε για την Τελική Τιμή και όχι για την αύξηση μπορούμε κατευθείαν να βρούμε την Τελική Τιμή.

Σε αυτή την περίπτωση κάνουμε τον πίνακα ως εξής

Κεφάλαιο 41: ΒΡΙΣΚΩ ΤΟ ΠΟΣΟΣΤΟ

 

Πώς μετατρέπουμε ποσοστό σε δεκαδικό:

...και το αντίθετο:

Πώς μετατρέπουμε ποσοστό σε κλάσμα

75%

...και το αντίθετο 

                                                                            3/4 

Κεφάλαιο 40: ΕΚΤΙΜΩ ΤΟ ΠΟΣΟΣΤΟ

 Ένα ποσοστό μπορεί να εκφραστεί ως δεκαδικό ή κλάσμα

Ως ποσοστό:	50%
Ως δεκαδικό:	0.5
Ως κλάσμα:	1/2

Πώς μετατρέπω ένα κλάσμα σε ποσοστό στα %: 

• Βρείτε έναν αριθμό που μπορείτε να πολλαπλασιάσετε τον παρονομαστή για να φτάσει στο 100.
• Πολλαπλασιάζετε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με τον ίδιο αριθμό.
• Στη συνέχεια γράφετε τον αριθμητή με το σύμβολο %.

Κεφάλαιο 37: ΛΥΝΩ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ

 

Στα προβλήματα των αντιστρόφωςανάλογων ποσών δημιουργούμε έναν πίνακα τιμών και υπολογίζουμε το γινόμενο των τιμών. Ποιο συγκεκριμένα:

8 εργάτες τελειώνουν ένα έργο σε 12 ημέρες. Αν οι εργάτες ήταν 6, σε πόσες μέρες θα τελείωναν το έργο;

Έστω λοιπόν ότι μας έχουν δώσει το παραπάνω πρόβλημα. Τα ποσά που μας δίνουν είναι ο αριθμός των εργατών και οι μέρες που απαιτούνται για να ολοκληρωθεί το έργο. Δημιουργούμε έναν πίνακα τιμών.

Εργάτες    8      6

Ημέρες     12     χ

Παίρνουμε τα γινόμενα των αντίστοιχων τιμών κάθε λόγου:

6 ∙ χ = 12 ∙ 8 (γινόμενα ποσών)

6 ∙ χ = 96 (κάνουμε τον πολλαπλασιασμό στο 2^ο μέρος)
χ= 96 : 6 (για να βρούμε τον άγνωστο διαιρούμε το γινόμενο με το συντελεστή του)

χ= 16
Άρα οι 6 εργάτες θα τελειώσουν σε 16 ημέρες.

βλ και άλλα προβλήματα σε διαφάνειες εδώ

Κεφάλαιο 36: ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ 'Η ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΑ ΠΟΣΑ

 Προβλημα: 20 παιδιά του σχολείου μας, πήγαν το καλοκαίρι  κατασκήνωση στη Χαλκιδική. Τα τρόφιμα που είχαν ήταν για 10 μέρες. Την άλλη μέρα όμως ήρθαν ακόμα 80 παιδιά. Για πόσες μέρες τώρα θα έχουν τρόφιμα;

Αφού ήρθαν πολύ περισσότερα παιδιά σε πόσες ημέρες θα τελειώσουν τα τρόφιμα; σε λιγότερες ή περισσότερες; Τα ποσά αυτά λέγονται αντιστρόφως ανάλογα.

Δύο ποσά λέγονται αντιστρόφως ανάλογα όταν η τιμή του ενός ποσού πολλαπλασιάζεται με έναν αριθμό, τότε και η αντίστοιχη τιμή του άλλου ποσού διαιρείται με τον ίδιο αριθμό. 

Στα αντιστρόφως ανάλογα ποσά τα γινόμενα των αντίστοιχων τιμών τους είναι ίσα.

Κεφάλαιο 35: ΛΥΝΩ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ

 

Πρόβλημα:

Σε έναν φούρνο έφτιαξαν με 4 κιλά αλεύρι με 10 κιλά ψωμί. Στη συνέχεια αγόρασαν ακόμα 14 κιλά αλεύρι. Πόσα κιλά ψωμί έφτιαξαν τώρα; Όπως γνωρίζεις από προηγούμενες χρονιές μπορούμε εύκολα να βρούμε τη λύση με τα δεδομένα που έχουμε, απλά βρίσκοντας πρώτα τα κιλά ψωμιού που φτιάχνουμε από ένα κιλό αλεύρι: 10 : 4 = 2,5 κιλά (Αναγωγή στη Μονάδα) και στη συνέχεια να βρούμε με πολλαπλασιασμό με τα 14 κιλά αλεύρι, πόσα κιλά ψωμί θα φτιάξουμε: 2,5 . 14 = 35 κιλά ψωμί Μπορούμε όμως να λύσουμε το πρόβλημα και με άλλο τρόπο. Ειδικότερα, σχηματίζοντας αναλογία

• Φτιάχνουμε πρώτα έναν πίνακα με τα δεδομένα του προβλήματος

• Συμπληρώνουμε τα ποσά και τις τιμές

ΠΡΟΣΟΧΗ! Τα ποσά να είναι σωστά τοποθετημένα στον πίνακα, αντίστοιχα με τις τιμές

• Ελέγχουμε τα ποσά, να δούμε αν αυξάνεται ή μειώνεται το ίδιο το ένα ποσό όταν αυξάνεται ή μειώνεται αντίστοιχα και το άλλο.

• Παρατηρούμε ότι με διπλάσια κιλά αλεύρι θα φτιάξουμε και διπλάσια κιλά ψωμί. Άρα τα ποσά κιλά αλεύρι και κιλά ψωμί είναι ανάλογα.

• Σχηματίζουμε την αναλογία ( 4/10 = 14/χ)

• και βρίσκουμε τον άγνωστο Χ λύνοντας την εξίσωση (χιαστί): (4 . χ = 10 . 14)

• Ελέγχουμε αν είναι το αποτέλεσμα λογικό ( 4 . χ = 140 και χ = 140 : 4 και χ = 35)